Понятие обусловленности

Мы решаем систему вида AX B в предположении, что матрица коэффициентов Аквадратная и невырожденная, в этом случае рассматриваемая СЛАУ имеет единственное решение.

Вырожденной называется матрица, не имеющая обратной.

На практике встречаются матрицы (и соответствующие системы уравнений), «близкие» к вырожденным. Пусть матрица А «почти» вырожденная. Учитывая, что X = A–1B, можно ожидать, что малые изменения в А и B вызовут очень большие изменения в решении X.

Рассмотрим погрешности решения СЛАУ в этом случае. Пусть «точная» система уравнений имеет вид

А* X* =B*.

Предположим, что вследствие округления и/или неточных данных матрица системы A* и вектор B* заменяются на «приближенные» матрицу А и вектор B. Соответствующая система уравнений запишется как

АX = B.

Погрешности матрицы А, вектора B и ошибку решения будем оценивать:

,

,

.

Здесь нормы векторов и матрицы должны быть согласованы между собой.

Можно показать, что справедливо следующее соотношение:

.                        (1)

Из (1) следует, что:

1)    ошибка решения  возрастает с ростом погрешностей  и ;

2)    ошибка решения  в  раз больше ошибки исходных данных .

Величина  играет важную роль при анализе погрешностей решения СЛАУ, поэтому она получила специальное название – число обусловленности матрицы А:

.

Обусловленность оценивает близость матрицы коэффициентов А к вырожденной.

Число обусловленности cond(A) является количественной оценкой обусловленности.

Отметим, что cond(A)³1. Если cond(A) ³ 103, то говорят, что матрица А плохо обусловлена. Если 1 £ cond(A) £ 100, то матрица считается хорошо обусловленной.

Пусть, например, в плохо обусловленной системе (cond(A)=103) А и B заданы с точностью 0,5 %, т.е.  =0,005 и =0,005. Тогда из (16) следует, что ошибка решения в этом случае может достигать  = 10, т.е. составляет 1000 %.

 

Причина появления больших погрешностей при решении плохо обусловленных систем хорошо иллюстрируется на примере СЛАУ с двумя неизвестными:

.

                             а)                                   б)                                             в)

Рисунок. Иллюстрация СЛАУ с двумя неизвестными:

а – хорошо обусловленная; б – плохо обусловленная; в – вырожденная система уравнений.

 

Рисунок (а) соответствует случаю хорошо обусловленной системы уравнений. На рис. (в) представлен случай системы с вырожденной матрицей А (det(A)=0), здесь прямые, отвечающие каждому из уравнений, параллельны друг другу (уравнения линейно зависимы). Пример плохо обусловленной системы уравнений показан на рис. (б) – прямые, соответствующие двум уравнениям, почти параллельны.

Штриховые прямые на рис. (а) и (б) отвечают одному из уравнений, в котором немного изменены коэффициенты aij или правая часть bj. Как видно, в случае хорошо обусловленной СЛАУ малые возмущения в величинах aij и bi приводят к небольшим изменениям решения (точка пересечения прямых смещается незначительно). В случае плохо обусловленной системы уравнений малые изменения в коэффициентах ведут к большим изменениям в решении (точка пересечения прямых смещается сильно).

 

Пример.

1. Хорошо обусловленная система (cond(A)=3):

 

Пусть при задании правой части второго уравнения (b2) допущена ошибка в 4-м знаке:

Как видно, здесь малые изменения в векторе свободных членов B приводят к небольшим изменениям в векторе решения x.

2. Плохо обусловленная система (cond(A) » 3×105):

Пусть в правой части второго уравнения (b2) допущена ошибка в 5-м знаке:

В этом случае малые изменения в векторе B приводят к тому, что решение системы уравнений становится совершенно неузнаваемым!

Причина больших ошибок при решении второй системы становится ясна, если заметить, что уравнения в ней «почти» линейно зависимы (коэффициенты в уравнениях почти пропорциональны), т.е. прямые, отвечающие уравнениям, практически параллельны друг другу.

Отметим, что если при задании b2 допущена ошибка только в 9-й значащей цифре (b2=255,000003), то полученное решение системы x1=16,9985, x2=0,0003 будет близко к точному решению.