ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы.

  1. Исследование итерационных методов численного систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
  2. Исследование обусловленности матрицы системы.

Задание. Решить систему линейных алгебраических уравнений AX=B методом простых итераций и методом Зейделя. Решение задачи найти с точностью 10-6.

Порядок выполнения работы:

1. Изучить теоретический материал о нормах векторов и матриц. Вычислить описанные там нормы для матрицы А.

2. Определить число обусловленности матрицы А с использованием различных норм. Сделать выводы.

3. Найти "точное" решение СЛАУ, используя средства MATCAD:

4. Решить СЛАУ методом простых итераций с заданной точностью двумя способами:

5. Решить СЛАУ методом Зейделя с заданной точностью. Оценить погрешность решения. Исследовать сравнительную скорость сходимости методов простых итераций (первый способ) и Зейделя.

6. Провести исследование влияния обусловленности второй системы линейных уравнений на точность решения.

  1. Определить число обусловленности матрицы системы с использованием различных норм. Сделать вывод об обусловленности системы.
  2. Найти решение "точной" системы, используя средства MATCAD.
  3. Внести погрешность в элементы матрицы системы и вектора свободных членов. Относительная величина погрешности должна составлять примерно один процент.
  4. Найти решение полученной таким образом "приближенной" системы. Вычислить погрешности (отн. и абс.) решения. В качестве точного решения взять решение из пункта b (обьяснить, почему это возможно).
  5. Проверить справедливость выражения . Сделать выводы.

Примечание. Для решения задачи методом простых итераций и методом Зейделя составить программу (программы), вычисления в которой можно проводить непосредственно в матричной форме. Некоторые полезные операции приведены в примере.

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы: