ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы.

  1. Исследование итерационных методов численного систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
  2. Исследование обусловленности матрицы системы.

Теория. Системы линейных алгебраических уравнений

Задание. Решить систему линейных алгебраических уравнений AX=B методом простых итераций и методом Зейделя. Решение задачи найти с точностью 10-6.

Порядок выполнения работы:

1. Изучить теоретический материал или сведения о нормах векторов и матриц. Вычислить описанные там нормы для матрицы А.

2. Определить число обусловленности матрицы А с использованием различных норм. Сделать выводы.

3. Найти "точное" решение СЛАУ, используя средства MATCAD:

4. Решить СЛАУ методом простых итераций с заданной точностью двумя способами:

5. Решить СЛАУ методом Зейделя с заданной точностью. Оценить погрешность решения. Исследовать сравнительную скорость сходимости методов простых итераций (первый способ) и Зейделя.

6. Провести исследование влияния обусловленности второй системы линейных уравнений на точность решения.

  1. Определить число обусловленности матрицы системы с использованием различных норм. Сделать вывод об обусловленности системы.
  2. Найти решение "точной" системы, используя средства MATCAD.
  3. Внести погрешность в элементы матрицы системы и вектора свободных членов. Относительная величина погрешности должна составлять примерно один процент.
  4. Найти решение полученной таким образом "приближенной" системы. Вычислить погрешности (отн. и абс.) решения. В качестве точного решения взять решение из пункта b (обьяснить, почему это возможно).
  5. Проверить справедливость выражения . Сделать выводы.

Примечание. Для решения задачи методом простых итераций и методом Зейделя составить программу (программы), вычисления в которой можно проводить непосредственно в матричной форме. Некоторые полезные операции приведены в примере.

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы: