ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задача 1. Даны два уравнения f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью  все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a, b]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Найти корни при помощи встроенной функции root (с точностью 10-10) пакета MATHCAD. Вычислить погрешности. Сравнить результаты.

 ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.B):

1. Найти аналитическое решение уравнения f(x)=0.

2. Используя пакет MATHCAD, локализовать корни f(x)=0 графически.

3. Используя программу bisec, найти корни уравнения f(x)=0 с точностью  с помощью метода бисекции.

4. Используя встроенную функции root пакета MATHCAD, найти корни уравнения f(x)=0 с точностью .

5. Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g(x)=0. Объяснить полученные результаты.

 

Задача 2. Найти указанный в варианте корень уравнения f(x)=0 с точностью , двумя способами.

а) Использовать метод бисекции. Предварительно определить отрезок локализации [a, b].

b) Использовать метод Ньютона. В качестве начального приближения для метода Ньютона взять середину отрезка локализации из п. а).

Сравнить число итераций в п. a), b).

 

Задача 3. Локализовать корни уравнения f(x)=0 и найти их с точностью , используя метод простой итерации. К виду x=j(x), удобному для итераций, уравнение f(x)=0 привести двумя способами.

a) Преобразовать уравнение к виду x=x-af(x), где a=2/(M+m),

а x принадлежит отрезку локализации [a, b].

b) Любым другим преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие сходимости метода.

Использовать критерий окончания итерационного процесса вида

,

где в п. a) q=(M-m)/(M+m), в п. b)

.

Сравнить число итераций и значения величины q в п. a), и b).

 

Задача 4. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью , используя методы простой итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций).

 

Задача 5. Найти приближенно корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [a,b], с точностью , используя модификацию метода Ньютона для случая кратного корня при значениях m=1,2,3,4,5. По числу итераций определить кратность корня (расчетная формула модификации метода Ньютона для поиска кратных корней дана в ПРИЛОЖЕНИИ C. )

 

Задача 6. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью  и , используя метод Ньютона и метод, указанный в индивидуальном варианте. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .

 

Задача 7. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью  и , используя метод Ньютона, упрощенный метод Ньютона и метод секущих. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .

 

Задача 8. Найти приближенно все (в том числе комплексные) корни уравнения f(x)=0 с точностью , используя метод Ньютона.

УКАЗАНИЕ. Для поиска комплексных корней следует использовать комплексные начальные приближения.

 

Задача 9. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения  на отрезке  с точностью . Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью . Сравнить общее количество итераций со случаем, если бы мы сразу искали найти решение нелинейного уравнения методом бисекции с точностью .

 

Задача 10. Функция y=f(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. На отрезке [1, 5] построить таблицу значений функции y=f(x) с шагом h=0.5, применяя один из методов численного решения нелинейного уравнения (с точностью ). Построить график функции y=f(x) на заданном отрезке.