ПРИЛОЖЕНИЕ 3

 

Задача 3. Постановка задачи: для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.

 Теоретический материал. В ЭВМ для вещественных чисел используется двоичная система счисления и принята форма представления чисел с плавающей точкой , . Здесь - мантисса ; - двоичные цифры, причем всегда =1, p-целое число называемое двоичным порядком. Количество t цифр, которое отводится для записи мантиссы, называется разрядностью мантиссы. Диапазон представления чисел в ЭВМ ограничен конечной разрядностью мантиссы и значением числа p. Все представимые числа на ЭВМ удовлетворяют неравенствам: , где , . Все числа, по модулю большие , не представимы на ЭВМ и рассматриваются как машинная бесконечность. Все числа, по модулю меньшие , для ЭВМ не отличаются от нуля и рассматриваются как машинный нуль. Машинным эпсилон  называется относительная точность ЭВМ, то есть граница относительной погрешности представления чисел в ЭВМ. Покажем, что . Пусть , тогда граница абсолютной погрешности представления этого числа равна . Поскольку , то величина относительной погрешности представления оценивается так:

 .

Машинное эпсилон определяется разрядностью мантиссы и способом округления чисел, реализованным на конкретной ЭВМ.

 Примем следующие способы определения приближенных значений параметров, требуемых в задаче:

1. Положим , где n - первое натуральное число, при котором происходит переполнение.

2. Положим , где m – первое натуральное число , при котором  совпадает с нулем.

3. Положим , где k – наибольшее натуральное число, при котором сумма вычисленного значения 1+  еще больше 1. Фактически  есть граница относительной погрешности представления числа .

Результаты вычислительного эксперимента:

Машинная бесконечность  

Машинный нуль

Машинное эпсилон

Фрагмент текста программы в системе MATHCAD:

 

 

Искомые величины в MATHCAD найдены методом простого перебора.

Выводы сформулировать самостоятельно.